Le tassellazioni regolari

LE TASSELLAZIONI regolari

Una tassellazione regolare è un ricoprimento del piano con poligoni regolari in modo che ad ogni vertice venga a contatto lo stesso numero di poligoni. Le tassellazioni del piano euclideo sono: nella quale per ogni vertice si incontrano 6 triangoli equilateri; nella quale per ogni vertice si incontrano 4 quadrati; e nella quale per ogni vertice si incontrano tre esagoni.La notazione è denominata un simbolo di Schläfli e significa che ci sono q poligoni regolari di p lati che si incontrano per ogni vertice.
Esistono molte tassellazioni regolari del piano iperbolico.
E' possibile determinare se è una tassellazione del piano euclideo, del piano iperbolico, o del piano ellittico guardando la somma 1/N + 1/K .

Se la somma è uguale 1/2, come accade per le tre tassellazioni citate precedentemente, allora è una tassellazione euclidea.

Se la somma è minore di 1/2, allora la tassellazione è iperbolica.
- Se la somma è maggiore di 1/2, allora la tassellazione è ellittica.

Ci si potrebbe chiedere perché per un tassellazione , ci sono K poligoni regolari di N lati ad ogni vertice.

Così l'angolo ad ogni vertice è 360°/K.

Poiché un poligono regolare di N lati ha N angoli uguali, ciascuno di 360°/K , allora la somma degli angoli di un poligono è N 360°/K .
Ora, nel piano euclideo un triangolo ha esattamente la somma degli angoli interni pari a 180°; nel piano iperbolico minore; e nel piano ellittico maggiore.

Dividendo un poligono in triangoli si può immediatamente vedere che la somma degli angoli di un poligono regolare di N lati è esattamente pari a (N - 2)180° nel piano euclideo; minore in quello iperbolico; maggiore in quello ellittico. Di conseguenza, se N 360°/K è uguale a (N - 2)180°, allora
può soltanto essere euclidea; se è minore, iperbolica; e se è maggiore, ellittica.

N 360°/K = (N - 2)180° dividiamo per 360°
N/K = (N - 2)/2
N/K = N/2 - 1 moltiplichiamo per 1/N
1/K = 1/2 - 1/N
ovvero 1/N + 1/K = 1/2

Ecco perché se 1/N + 1/K è uguale 1/2, allora può soltanto essere euclideo; se minore, iperbolica; e se maggiore, ellittica.

Alcuni esempi di tassellazioni del piano iperbolico:

                            
Tassellazione regolare del piano iperbolico Tassellazione del piano iperbolico

                      
Tassellazione regolare Tassellazione regolare

                    
Tassellazione                                                       Tassellazione