Le serie infinite

Le serie infinite

Possiamo certamente convenire che ci sono successioni senza termine di oggetti matematici, quali i numeri naturali, ed abbracciarne con la nostra percezione porzioni comunque grandi; ma, quanto ad afferrarne la totalità ed ad identificarla completamente come singolo ente, ebbene, questo è un altro discorso, inaccessibile ai limiti della nostra mente umana.

Associando una particolare successione ad un'altra successione predeterminata si ha una serie e in particolare essa è una somma infinita di elementi.

Le serie si distinguono primariamente in base alla natura dei termini che si sommano. Le serie possono essere costituite da numeri reali o complessi e sono utilizzate, in particolare, per calcolare vari numeri irrazionali a partire da successioni di numeri razionali; o da funzioni, costituendo un efficace strumento per lo studio delle funzioni speciali e per la risoluzione di equazioni differenziali.

Le serie di funzioni, in particolare, sono successioni di funzioni , cioè ogni elemento della successione è una funzione (analogamente si potrebbero considerare o ), e la serie associata è definita dalla legge e si indica anche con

In analogia con le serie numeriche, i termini f_n e s_n vengono detti rispettivamente termine generale e somma parziale della serie.

Gli esempi di serie di funzioni sono molteplici nell'analisi. In particolare si distingue la Serie di Taylor - caso particolare di una serie di potenze, in cui i coefficienti a_n sono rappresentati dalle derivate successive della funzione nel punto c, a meno di un termine fattoriale al denominatore. Sono usatissime, specie in una forma 'troncata' all'n-esimo termine, per approssimare la funzione in esame nel punto c. Una funzione sviluppabile in serie di Taylor in ogni suo punto è detta analitica. Sono dette anche serie di Taylor-Mac-Laurin se il punto iniziale è lo zero.

Le serie di Taylor sono del tipo:

dove n è l'ordine di derivazione ed f₍₀₎= f _(x0).

Questo si ottiene se consideriamo la funzione y = f (x) continua nell'intervallo chiuso [a, b] e indefinitamente derivabile, con derivate limitate, nell'intervallo aperto (a, b). Se allora possiamo assegnare ad f (x) una somma di infinite funzioni elementari detta appunto serie di Taylor.