Le equazioni di Maxwell

Le equazioni di Maxwell

1 Il teorema di Gauss per il campo elettrico e la circuitazione

Per introdurre le quattro principali equazioni è necessario un riferimento al teorema di Gauss per i campo elettrico e al concetto di "circuitazione".

Teorema di Gauss:

Determiniamo il flusso del campo elettrico, generato da una carica puntiforme Q, attraverso una superficie sferica di raggio r, avente il centro coincidente con la carica.

Il risultato che ha valore generale per qualunque distribuzione di carica e qualunque superficie, lo si ottiene con un calcolo abbastanza semplice.

Una sfera circonda una carica elettrica +Q

Per calcolare il flusso del campo attraverso la superficie, suddividiamo quest'ultima in tante superfici

Il campo elettrico della carica puntiforme posta al centro della sfera ha la stessa intensità E in tutti i punti di S (superficie), la direzione del campo varia da punto a punto. Suddividiamo la superficie in parti di area uguale e abbastanza piccole da poterle considerare piane.

Il flusso attraverso ogni piccola superficie risulta uguale a

= = E

Il flusso di attraverso tutta la superficie sferica è la somma dei flussi parziali attraverso ciascuna piccola superficie :

= ₁+₂₂+₃₃+.=

Il flusso è uguale al prodotto dell'intensità E del campo per la somma delle aree delle piccole superfici, che è uguale all'area della superficie S della sfera:

= ES

dato che E = K_e e S = 4r² otteniamo:

= 4 K_eQ

Il flusso attraverso la sfera è proporzionale alla carica Q che essa contiene e non dipende dal raggio della sfera. Infatti, se svolgiamo lo stesso calcolo considerando una sfera di raggio 2r, il risultato non cambia perché si compensano la diminuzione dell'intensità del campo elettrico, inversamente proporzionale al quadrato del raggio r, con l'aumento dell'area della superficie della sfera, direttamente proporzionale al quadrato di r. Si nota che il flusso dipende solo dalla carica contenuta nella superficie, ha segno positivo per una carica positiva e negativo per una carica negativa.[1]

Con il teorema di Gauss, che vale non solo per i campi elettrostatici ma anche per i campi elettrici che variano con il tempo, abbiamo enunciato la prima delle equazioni di Maxwell.

In generale è possibile enunciare il teorema di Gauss valido per il magnetismo: il flusso di un campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è uguale a zero.

Ecco una prima diversità tra il campo elettrico e il campo magnetico. Mentre il flusso di è proporzionale alla quantità di carica racchiusa nella superficie, il flusso di è sempre uguale a zero. Ciò riflette una profonda diversità tra le sorgenti di campo elettrico e di quello magnetico. Mentre vi sono cariche elettriche positive e cariche elettriche negative, non esiste un analogo magnetico. Non vi sono infatti poli magnetici liberi.

Il teorema di Gauss per il magnetismo vale sia per i campi statici che per quelli variabili nel tempo e rappresenta la seconda equazione di Maxwell.

La circuitazione

Le proprietà del campo elettrico non sono espresse dal teorema di Gauss; occorre infatti determinare la circuitazione.

La circuitazione esprime una proprietà importante delle linee di un campo vettoriale.

Consideriamo una linea chiusa immersa in un campo descritto da un vettore, per esempio il campo elettrico.

In questo caso la circuitazione del vettore lungo la linea chiusa viene determinata con il prodotto dell'intensità del vettore per la lunghezza della linea stessa.

Calcoliamo la circuitazione ) del campo elettrico di una carica puntiforme Q lungo una circonferenza che ha il centro coincidente con la carica.

La circonferenza è concentrica alla carica +Q

Per calcolare la circuitazione del campo elettrico della carica lungo la circonferenza, essa viene suddivisa in tanti spostamenti

La circuitazione risulta una somma di prodotti scalari

) = ₁₁+₂₂+.  =

calcolata lungo una serie di intervalli di lunghezza nei quali pensiamo di suddividere la circonferenza. Ciascuno di questi tratti è un segmento parallelo alla tangente alla circonferenza e quindi è sempre perpendicolare al campo elettrico, la cui direzione coincide con quella del raggio della circonferenza, il prodotto scalare di vettori perpendicolari è nullo, la circuirazione sarà quindi uguale alla somma di addendi nulli e quindi ) = 0 . Questo risultato vale per tutte le circonferenze con il centro sulla carica, qualunque sia il loro raggio.

È possibile concludere che la cicuitazione di un campo elettrostatico lungo un qualsiasi percorso chiuso è sempre nulla.

Tale conclusione introduce la terza equazione di Maxwell nel caso statico, l'equazione non vale più nel caso dinamico, cioè quando il campo elettrico varia nel tempo.

Dalla legge di Faraday-Neumann sappiamo che la forza elettromotrice indotta è proporzionale alla rapidità con cui varia il flusso del campo magnetico attraverso una ipotetica spira. Sugli elettroni che costituiscono la corrente indotta agisce una forza esterna provocata dalla variazione di flusso del campo magnetico. Il lavoro per unità di carica di questa forza esterna è per definizione la forza elettromotrice indotta. Approssimiamo la spira con una serie di segmenti tangenti ad essa ed eseguiamo per ogni segmento il prodotto scalare , otteniamo così

= , ricordando poi che = , risulta = e quindi = )

Possiamo allora completare l'equazione di Maxwell che esprime la circuitazione del campo elettrico estendendola al caso dinamico:

)= -

Volendo determinare la circuitazione nel campo , consideriamo il caso di un filo rettilineo percorso da una corrente i. Per sfruttare la simmetria del campo calcoliamo la circuitazione lungo una circonferenza di raggio r con il centro sul filo e disposta sul piano perpendicolare a esso, in ogni punto della circonferenza che si considera, il campo e la tangente alla curva sono paralleli. Il campo ha la stessa intensità in tutti i punti della circonferenza, la circuitazione sarà uguale a

= B K_m= K_mi

Anche in questo caso la circuitazione del campo prodotto dal filo non dipende dal raggio della circonferenza.

Tale risultato porta ad enunciare il noto teorema di Ampère: la circuitazione di un generico campo magnetico è proporzionale alla somma algebrica delle correnti concatenate[2].

() = K_m

Il teorema di Ampère rappresenta la quarta equazione di Maxwell nel caso statico (non dipendente da t).

2 Le quattro equazioni fondamentali ed il "termine mancante"

Le principali equazioni possono essere così schematizzate

• Legge di Gauss per il campo elettrico:

= 4 K_eQ

• Legge di Gauss per il campo magnetico:

0

• Legge di Faraday-Neumann:

)= -

• Legge di Ampère:

() = K_mi

Osservando le equazioni da un punto di vista matematico Maxwell scorse due asimmetrie tra i campi e . La prima riguarda, da una parte, la presenza della carica Q nella legge di Gauss per il campo elettrico e l'assenza di una carica analoga nella legge di Gauss per il campo magnetico, dall'altra la presenza della corrente elettrica nella legge di Ampère e l'assenza di una corrente "magnetica" nella legge di Faraday-Neumann. Questa asimmetria si spiega con il fatto che non sono stati scoperti poli magnetici isolati.

Vi è anche un'altra importante asimmetria tra i due campi. Manca nella legge di Ampère un termine analogo a quello che compare al secondo membro della legge di Faraday- Neumann, cioè un termine proporzionale alla rapidità con cui varia il flusso del campo elettrico:

Partendo quindi da considerazioni di simmetria, Maxwell aggiunge questo "termine mancante" che gli consente di risolvere alcune ambiguità teoriche emerse nell'ambito delle quattro equazioni esposte.

Il processo che consente a Maxwell di trovare tale termine viene qui riportato.

Consideriamo il processo di carica di un condensatore[3]. Mentre le armature si caricano, nei fili circola una corrente di intensità sempre più piccola che genera nello spazio un campo magnetico. Le linee di campo circondano i fili e non dovrebbero esistere attorno al condensatore.

La corrente i e il campo magnetico subiscono, attorno al condensatore, una discontinuità difficile da interpretare.

La circuitazione del campo magnetico lungo le circonferenze S₁ e S₂ è uguale a K_mi e dovrebbe essere nulla lungo S₃. Il ragionamento porta a concludere che lungo la circonferenza S₄ la circuitazione diventa improvvisamente uguale a zero.

Se alla legge di Ampère viene aggiunto un termine proporzionale alla rapidità con cui varia il campo elettrico, precisamente , l'ambiguità sparisce.

Questo termine venne interpretato da Maxwell come una corrente, la corrente di spostamento, la quale "prolunga" tra una armatura e l'altra la corrente che attraversa i conduttori.

Riscrivendo quindi la legge di Ampère con il nuovo termine otteniamo:

() = K_mi+ = K_m

La corrente di spostamento i_s è pari a  _.

È possibile dimostrare che essa è pari alla corrente che circola nei conduttori.

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie cilindrica che racchiude un'armatura del condensatore è pari al flusso calcolato nello spazio tra le armature.

per il teorema di Gauss vale

Dopo un intervallo di tempo , mentre procede il processo di carica, sull'armatura si deposita una carica aggiuntiva la quale aumenta di il campo elettrico e di il flusso:

₌ S

Analogamente, per il teorema di Gauss  S = _,

dividiamo quindi ambo i membri per ottenendo 

risulta come la corrente i che circola nel conduttore, di conseguenza

ricordando poi che ₌ S, ricaviamo i

i =

il valore della corrente di spostamento risulta così uguale a quello della corrente che circola nel conduttore.

La corrente di spostamento i_s ha la stessa intensità della corrente di conduzione nei fili e genera un campo magnetico attorno al condensatore.

L'aggiunta del termine alla legge di Ampère rende simmetrici i campi elettrico e magnetico per ciò che riguarda la loro variazione nel tempo. Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (legge Faraday-Neumann) e anche un campo elettrico variabile genera un campo magnetico (termine aggiunto da Maxwell).

È possibile ora presentare le equazioni di Maxwell nelle modalità più diffuse .La  seguente forma, a prescindere dal mezzo considerato, distingue i casi statico e dinamico o generale.

Vengono di seguito rappresentate le equazioni, valide per un qualsiasi mezzo materiale, nella forma integrale e in quella differenziale. Per comprendere appieno il significato di tali scritture, sono necessari concetti di analisi vettoriale non contemplati dalla didattica liceale, pertanto, in questa sede ci si limita ad una schematica esposizione.

Forma integrale Forma differenziale

1. =  = =
2.   = 0 = 0
3. )= = - =
4. () = = =

Corrente di spostamento Is =              densità di spostamento =

Se si considerano i valori ( permeabilità magnetica del vuoto) e [4]( costante dielettrica assoluta del vuoto), nelle equazioni numero 4, la corrente di conduzione e la densità diventano nulle e le stesse equazioni risultano simmetriche alle numero 3.

Le equazioni di Maxwell espresse in forma differenziale nel vuoto ( o nell' "etere"), essendo nulle le correnti di conduzione e le cariche elettriche, raggiungono una perfetta simmetria tra campo magnetico e campo elettrico.

Le conseguenze delle equazioni di Maxwell risultano estremamente importanti.

Un campo elettrico che varia rapidamente nel tempo genera un flusso anch'esso variabile e, per la quarta equazione, induce un campo magnetico. Allo stesso modo, un campo magnetico che varia rapidamente nel tempo genera un flusso variabile e quindi induce un campo elettrico (terza equazione).

Innescato quindi un campo che varia rapidamente nel tempo, si genera una catena senza fine di campi che continuano a produrre effetti di induzione reciproca e quindi si estendono nello spazio.

Si propaga allora un campo elettromagnetico: una nuova grandezza costituita da un campo elettrico e da un campo magnetico inestricabilmente legati tra loro.