Il significato della funzione d'onda

Il significato della funzione d'onda

È di estrema importanza comprendere il significato concettuale della funzione d'onda.
L'interpretazione della funzione d'onda nasce da un'idea di Max Born, in analogia con la teoria ondulatoria della luce, secondo la quale, il quadrato dell'ampiezza di un'onda luminosa ha il significato di intensità, che in termini quantistici equivale al numero di fotoni presenti.
Così, mentre ψ può essere visto come ampiezza della funzione d'onda, ψ² esprime la probabilità di trovare l'elettrone in un determinato punto di coordinate x, y, z. Più esattamente, se in un punto r (x,y,z) la funzione d'onda dell'elettrone ha ampiezza ψ, la probabilità di trovare l'elettrone nel volume infinitesimo Δv è proporzionale a ψ².
Per trasformare questa proporzionalità in una uguaglianza è sufficiente introdurre una adeguata costante di proporzionalità, scelta in modo che la somma delle singole probabilità, estesa a tutto lo spazio, sia uguale a 1, ovvero:

Questo procedimento si dice normalizzazione della funzione d'onda e C è la costante di normalizzazione.

Cerchiamo di comprendere nella maniera corretta i concetti che derivano dall'interpretazione di ψ²: lo faremo aiutandoci con un paio di grafici.

Per l'elettrone dell'atomo di H nello stato fondamentale, la funzione d'onda normalizzata è:

con a_° = 0.53 Å e r distanza dal nucleo.

Quindi, la probabilità di trovare l'elettrone in un elemento di volume infinitesimo, a distanza r dal nucleo, è data da:

Il grafico di questa funzione, mostrato nella figura che segue, descrive la cosiddetta densità di probabilità elettronica. Come si può osservare, la densità per unità di volume è massima sul nucleo e decresce progressivamente allontanandosi da esso, fino a diventare zero a distanza infinita.

È essenziale capire che tutto ciò non significa che la probabilità di trovare l'elettrone sul nucleo è massima. Immaginiamo di scattare un'istantanea dell'atomo di idrogeno, nella quale l'elettrone appaia come un singolo punto localizzato in una determinata posizione. A che distanza dal nucleo è più probabile che si trovi questo punto? Se non riflettiamo attentamente sul significato 'geometrico' di ψ², verrebbe quasi spontaneo rispondere 'a distanza zero, ovvero sul nucleo'. La risposta corretta è invece esattamente opposta: 'la probabilità di trovare l'elettrone in un elemento di volume sul nucleo tende a zero'.

ψ²Δv indica infatti la probabilità riferita ad un elemento di volume infinitesimo 'centrato' in punti diversi lungo un'unica direzione, lungo un unico raggio. Se confrontiamo un elemento di volume in prossimità del nucleo con uno identico lontano da esso, riscontriamo in effetti che è più probabile trovare l'elettrone nell'elemento di volume più vicino al nucleo. Tuttavia, man mano che ci allontaniamo dal nucleo, il numero degli elementi di volume cresce proporzionalmente al quadrato della distanza (l'area di una superficie sferica è data da 4π r².
Quindi, è molto più indicativo considerare la funzione 4π r² ψ², detta funzione di distribuzione radiale, che descrive la probabilità di trovare l'elettrone su una superficie sferica (o meglio, se moltiplicata per dr, entro un guscio sferico di spessore infinitesimo dr) a distanza r dal nucleo. Dato che r² aumenta in modo quadratico al crescere del raggio, mentre ψ² diminuisce, la funzione di distribuzione radiale assume la forma illustrata nella Fig. 1.2, dove si evidenzia un massimo che corrisponde al raggio più probabile, r=a_°, al quale si può incontrare l'elettrone intorno al nucleo. Per l'atomo di H nello stato fondamentale questo valore coincide con il raggio di Bohr. Tuttavia, piuttosto che enfatizzare l'analogia fra i due risultati, è preferibile focalizzare la nostra riflessione sulla profonda differenza tra le due teorie: in quella di Bohr l'elettrone si trova solo ad una distanza definita dal nucleo, secondo la meccanica ondulatoria l'elettrone è invece del tutto 'non localizzato' , ma si trova con maggior probabilità a distanza 0.53 Å dal nucleo.

Il motivo per cui ho espressamente definito sferica la superficie di massima probabilità è giustificato dal fatto che la funzione densità di probabilità è costante per ogni punto r equidistante dal nucleo, come mostra la figura. Ovvero, dipende esclusivamente da r ed è indipendente da una qualsiasi direzione: l'orbitale 1s dell'idrogeno ha infatti simmetria sferica.

Finora, ogni volta che ci siamo riferiti all'elettrone, lo abbiamo fatto, probabilmente anche inconsciamente, immaginandolo come una carica puntiforme negativa in rapido movimento intorno al nucleo, ovvero pensando principalmente alla sua natura corpuscolare discreta.
È tuttavia assai più conveniente, e avremo modo di capire in seguito quanto, riuscire a 'costruirsi' un'immagine dell'elettrone nell'atomo, o nelle molecole, come quella di una nuvola elettronica. Si può al limite, con le dovute precauzioni, sovrapporre l'immagine della forma di un orbitale atomico con quella dell'elettrone stesso (o, se è il caso, di una coppia di elettroni). In sintesi, dobbiamo rappresentarci l'elettrone nell'atomo non più come una particella, ma come una superficie di distribuzione di una carica diffusa. Questa superficie avrà la forma propria dell'orbitale e sarà più o meno estesa intorno al proprio asse di simmetria, a seconda di quale probabilità di localizzare l'elettrone all'interno di essa vogliamo assegnarle (ad esempio 90 o 95%).

Posta la questione in questi termini, sono giustificate, ed equivalenti, espressioni del tipo: 'l'elettrone passa il 95 % del proprio tempo all'interno di questa determinata superficie'; oppure, 'il 95% della carica elettronica è localizzato all'interno di quella determinata superficie'.