Forza ed Accelerazione Relativistica

Forza ed Accelerazione Relativistica

Le trasformazioni di Lorentz e le nuove modifiche apportate alla definizione classica di massa ci indurranno a modificare la Legge Fondamentale della Dinamica. Analizziamo un corpo dotato di massa che è soggetto a delle forze costanti che imprimono al medesimo un'accelerazione per un intervallo spazio-temporale infinitesimo. Partiremo dalla formulazione della Legge di Newton basata sul concetto di Quantità di Moto trasportata da un corpo in movimento:

"Una forza F produce una variazione delle componenti longitudinali e trasversali della Quantità di Moto, per unità di tempo, tali da eguagliare le corrispondenti componenti della forza stessa."

Siano le componenti della quantità di moto di un corpo all'istante e sia v la velocità parallela all'asse delle ascisse nel medesimo istante. Supponiamo che una forza F di componenti agisca per un infinitesimo intervallo di tempo . Le componenti del momento saranno quindi :

Possiamo, inoltre, affermare che a causa dell'azione della forza costante si sommino, alle già note componenti di v, altre piccole componenti dovute all'accelerazione subita.

Indichiamo con la velocità risultante:

Il valore assoluto di si calcola approssimativamente trascurando i quadrati di e di e omettendo i calcoli per la componente z in quanto sono identici a quelli della componente y:

Utilizzando l'approssimazione algebrica valida per piccoli valori di x si ottiene:

.

Otteniamo così:

pertanto:

trascurando il termine e ponendo otteniamo:

Nella stessa approssimazione si ottiene:

la 104) va sostituita all'espressione della quantità di moto, il membro relativo alla componente x diventa quindi:

il termine è trascurabile essendo e quindi:

Il modulo della componente y similmente a quello della componente z diventa:

In virtù delle stesse ragioni addotte nell'approssimazione della componente x è possibile trascurare il prodotto ottenendo:

utilizzando la definizione relativistica di massa:        

Definendo il rapporto come accelerazione, si ottiene:

La relazione esistente tra forza ed accelerazione è quindi differente da quella espressa dalla Legge di Newton. In particolare la forza varia a seconda che il vettore velocità sia o no parallelo ad essa.

Nella meccanica relativistica il termine massa si riferisce a quantità differenti, in corrispondenza, ad esempio, delle espressioni della Quantità di moto totale, della Forza longitudinale o della Forza trasversale. La massa a riposo non è uguale in ogni sistema di riferimento inerziale al rapporto tra quantità di moto e velocità o tra forza ed accelerazione.