Cenni sugli sviluppi del calcolo infinitesimale fino a XIX° Sec

Cenni sugli sviluppi del calcolo infinitesimale fino a XIX° Sec

E' opinione comune che nessun progresso sarebbe mai stato possibile nel campo delle scienze e della tecnica senza un adeguato sviluppo della matematica. Essa è certamente a fondamento della fisica, della chimica, delle moderne scienze economiche, e persino gli studiosi delle cosiddette scienze sociali si stanno sempre più rivolgendo ad essa, nel tentativo di meglio comprendere e risolvere i problemi di un mondo sempre più complesso. Da Archimede fino al XIX° Sec. il ramo portante della matematica, tra periodi bui ed altri di inteso sviluppo, è stata l'analisi con il suo calcolo infinitesimale che può a buon diritto considerarsi un processo fondamentale per la storia del pensiero scientifico e, più in generale, per la storia delle idee[1].

Non è possibile ricordare tutti i contributi che, nei secoli, grazie al lavoro di un consistente numero di matematici, hanno reso possibile lo sviluppo dell'analisi matematica fino ai suoi livelli attuali. Ci soffermeremo perciò su tre momenti fondamentali:

a)      La nascita del cosiddetto metodo di esaustione nel periodo della matematica greca;

b)      La creazione del calcolo differenziale e di quello integrale nel XVI° Sec.;

c)      Gli sviluppi dell'analisi nel XIX° Sec. 

a)      Eudosso da Cnido ed Archimede sono considerati i fondatori del metodo di esaustione per il calcolo delle aree e dei volumi. Si tratta di un procedimento attraverso il quale si suddividono le figure piane o solide delle quali si vuole calcolare l'area o il volume in elementi sempre più piccoli, dei quali si conosca l'area o il volume, eseguendo poi la somma: al crescere del numero delle suddivisioni, cioè del numero degli addendi, cresce la precisione del risultato. Con tale metodo Eudosso calcolò il volume di coni e piramidi mentre Archimede determinò la lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio. In effetti, inscrivendo e circoscrivendo ad una circonferenza poligoni con un numero sempre maggiore di lati, egli riuscì a dare una buona approssimazione del valore di π. Col metodo di esaustione Archimede riuscì anche a determinare l'area del segmento parabolico e l'area dell'ellisse.

fig. 1

b)      Il metodo di esaustione è alla base del concetto di limite che sarà sviluppato nel XVII° secolo da Isaac Newton (1642-1727) e da Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Il primo nel suo De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, del 1699, rompe con la tradizione greca antica e si occupa non solo di processi finiti, ma anche di procedimenti con somme infinite : « ..qualsiasi cosa l'analisi comume [l'algebra] esegua per mezzo di equazioni con un numero finito di termini, questo metodo può sempre eseguire la stessa cosa per mezzo di equazioni infinite » . Newton considera x ed y come variabili e le denomina  fluenti  mentre chiama  flussioni  le quantità che rappresentano la velocità di variazione della x e della y. Leibniz giunge autonomamente alle stesse conclusioni di Newton. Entrambi aprono la strada ad un calculus differenzialis necessario per determinare la tangente in un punto di una curva (e quindi anche la velocità di variazione di una variabile rispetto all'altra) e di un calculus integralis necessario al calcolo delle quadrature, cioè delle aree. Mentre le notazioni di infinitesimo quali e erano note ad entrambi, pare che la notazione per la derivata e la di integrale siano da attribuirsi al solo Leibniz.

c)      Per opera di Cauchy e di matematici come Poisson, Liouville, Fourier gli obiettivi dell'analisi infinitesimale si ampliano a comprendere l'analisi complessa, le equazioni alle derivate parziali e l'analisi armonica. Intorno al Riemann introduce la teoria dell'integrale che porta il suo nome. Intorno al Dedekind precisa la nozione di numero reale. Questa consente che, intorno al , venga precisata la definizione delle basi del calcolo infinitesimale per opera di Karl Weierstrass e di vari altri matematici. Da allora le idee e le tecniche di calcolo infinitesimale fanno parte del bagaglio essenziale per chi si dedica alla scienza e alla tecnologia.

Diamo, senza dimostrazione, i due più importanti teoremi dell'analisi dati nel corso del XIX° secolo:

Teorema di Cauchy: Date due funzioni reali di variabile reale f e g, continue in e derivabili in , con per ogni punto dell'intervallo, esiste almeno un tale che:

( 1 )

Se , allora è , perciò la ( 1 ) diventa:

( 2 )

che è la tesi del teorema di Lagrange.

Teorema della media del calcolo integrale: Se è continua in tutto il suo dominio, allora tale che:

( 3 )

Piccolo glossario dei termini nautici

Bibliografia

• Oliver E.Allen: "I grandi velieri mercantili", CDE Gruppo Mondadori,1988
• Aldo Fraccaroli: "Dalla piroga alla portaerei", Carlo Signorelli Editore, 1954
• Herny Newbolt: "Le operazioni navali-Storia della Grande Guerra", Accademia Navale, Livorno, 1934
• Alfonso Bosellini: "Le Scienze della Terra e l'universo intorno a noi", Italo Bovolenta editore, 2006
• F. Rapacciuolo: " Elementi di teoria della nave " Tipografia Moderna, La Spezia, 1981.

• N. Petronzi - A. Veccio Formisano: " La Manovra della navi ", Vingiani, Torre del Greco, 1998.

• C. Pidatella: " Elementi di macchine ", Zanichelli, Bologna, 1986.

• Aldo Nicoli: "Navigazione tradizionale", Edizioni quaderni marinari, Chiavari (Genova).

• Carl B. Boyer: "Storia della matematica", ISEDI, Milano, 1976.