Gli orbitali

Ma che utilità ha per noi la funzione d'onda ψ che è una funzione matematica?

Immaginiamo che l'elettrone sia rappresentabile da una carica elettrica dispersa nello spazio: allora, per ogni punto identificato dalle coordinate (x,y,z), il valore ψ² è proporzionale alla densità di carica in quel punto; oppure, preso un volume dt piccolo a piacere, ψ²dt rappresenta una misura della probabilità di trovare l'elettrone in quel volume dt.

Per ottenere la probabilità di trovare l'elettrone in una certa regione dello spazio occorre calcolare l'integrale ∫ ψ²dt esteso a tutta la regione che interessa.

Chiameremo così 'orbitale' una regione dello spazio delimitata da una superficie a uguale ψ² e, al cui interno, la probabilità di trovare l'elettrone sia, per esempio, 90% (se volessimo 100% dovremmo considerare 'tutto' lo spazio).

Questa 'definizione' sarà da noi usata per rappresentare graficamente gli orbitali; ψ rappresenta perciò, per noi, soprattutto una funzione di probabilità.

L'orbitale 1s è così rappresentabile come una sfera che contiene il 90% di carica elettronica. Il 2s è simile all'1s ma di dimensioni maggiori. Al crescere di n, numero quantico principale, crescono le dimensioni.

All'aumentare di n aumenta E degli orbitali, finché per n=∞, E=0; l'elettrone non è più legato al nucleo e la sua energia non è più quantizzata ma continua.

l, numero quantico secondario, indica la forma degli orbitali, mentre m, numero quantico magnetico, caratterizza le orientazioni.

Vediamo qualche raffigurazione di orbitali, rappresentati come sezioni della superficie di contorno a ψ² costante.

Negli orbitali f, che non vengono rappresentati perché piuttosto complessi (hanno generalmente 8 lobi), esistono tre piani nodali o superfici nodali complicate, rappresentate da funzioni matematiche di terzo grado; ciò è legato al valore del numero quantico l= 3, come per l=2 c'erano 2 piani nodali e superfici coniche (perciò di secondo grado).

Che significato hanno queste rappresentazioni grafiche degli orbitali? Esse indicano la superficie che racchiude una regione di spazio entro cui abbiamo una certa probabilità (il 90% o altro valore inferiore a 100) di trovare l'elettrone; i disegni rappresentano ovviamente sezioni di queste regioni di spazio.

Esistono anche altri tipi di rappresentazione. Vediamone alcune per uno stesso orbitale, per esempio un 2p_z:

In a) la lunghezza del raggio vettore nella direzione definita da J è proporzionale al valore di y, in quella direzione; dà luogo a un lobo positivo e un lobo negativo, però non dice come varia l'ampiezza rispetto alla distanza dal nucleo.

In b) la lunghezza del raggio vettore è proporzionale a y² nella direzione del vettore, sempre a distanza fissa dal nucleo. Anche questo non ci dice come varia y² al variare della distanza. I lobi sono positivi poiché si tratta di y² (infatti non esiste probabilità negativa) e sono regioni di densità elettronica.

In c) le curve (simili a isobare metereologiche o a curve di livello, isoipse) corrispondono alla probabilità di trovare l'elettrone nella zona ottenuta per rotazione attorno all'asse z, del 60%, del 70%, dell'80%, del 90%. Una variante di questa è il diagramma punteggiato.

Comunque noi li rappresentiamo, gli orbitali hanno il carattere di artifici matematici più che di entità fisiche, ma ogni rappresentazione può avere un significato ed una utilità diversa.

Il termine 'orbitale' è stato introdotto nel 1932 da Robert Mulliken (nato nel 1896; premio Nobel nel 1966) come abbreviazione di 'One-electron Orbital Wave Function'.

Ma perché 'one-electron', monoelettronica?

Perché ψ _x,y,z dipende dalle coordinate di un solo elettrone: la descrizione infatti è rigorosa solo per atomi con un solo elettrone (come H o He⁺); per gli altri atomi è una approssimazione (che si può comunque considerare generalmente valida), poiché si trascura la repulsione tra gli elettroni.

Occorre ricordare poi che la scelta della terna di assi è arbitraria, in assenza di campi; perciò la simmetria di densità elettronica in un atomo isolato appare sempre sferica, qualunque siano gli orbitali occupati degli atomi.

Abbiamo parlato di orbitali e non di 'orbite'; ma la prima trattazione organica teorica dell'atomo di H è stata fatta sulla base delle orbite da Niels Bohr (1881-1962; premio Nobel nel 1992), che nel 1912 considerò l'atomo di H come un modello planetario, introducendo la quantizzazione (come dato sperimentale): nel suo modello l'elettrone percorre orbite circolari; ipotizzò la quantizzazione del momento angolare dell'elettrone e l'assorbimento e l'emissione di energia solo nel passaggio fra gli stati quantici.

Arnold Sommerfeld (1868-1951) generalizzò tale modello introducendo orbite ellittiche oltre a quelle circolari.

Questo modello poteva far pensare che fosse possibile determinare con esattezza, in ogni momento, la posizione dell'elettrone.

Werner Heisenberg (1901-1976; premio Nobel nel 1932), collaboratore di Bohr, nel 1925 formulò il principio di indeterminazione (o di incertezza), che rivoluzionò questo modo di pensare: il prodotto degli errori nella determinazione contemporanea della quantità di moto e della posizione di un corpo in movimento è almeno eguale ad h/2π.

Ciò vale per molte coppie di grandezze fisiche, per esempio per la posizione e la velocità di una particella lungo la direzione x:               Δx^.Δp_x   ≥  h/2π

Risulta così impossibile 'seguire' il percorso dell'elettrone; è invece possibile determinare la probabilità di trovare l'elettrone in uno spazio definito.