Metodi trigonometrici, Periodi di rivoluzione e Radio-echi

Metodi trigonometrici, Periodi di rivoluzione e Radio-echi

Metodi trigonometrici: Parallassi diurne e Massima elongazione

Il termine parallasse indica lo spostamento apparente di due punti situati a distanza diversa dall'osservatore quando quest'ultimo si sposta lungo una retta trasversale alla linea di osservazione.

La distanza tra i due punti di osservazione è detta base parallattica. Lo spostamento parallattico sarà tanto più evidente quanto maggiore è la base parallattica e/o quanto più vicino è l'oggetto all'osservatore. L'angolo compreso tra le due visuali è detto angolo parallattico o parallasse.

Per ottenere uno spostamento parallattico di un corpo appartenente al nostro sistema planetario (pianeta, satellite, asteroide etc) rispetto allo sfondo delle stelle fisse è necessaria una base parallattica sufficientemente estesa, ad esempio il diametro terrestre. Per utilizzare il diametro terrestre come base parallattica è sufficiente eseguire 2 osservazioni a distanza di circa 12 ore, aspettando che la terra compia mezzo giro intorno al suo asse. La metà dell'angolo compreso tra le due visuali è detto parallasse diurna (o orizzontale).

In pratica si registra la posizione del pianeta P al momento in cui sorge e in cui tramonta (quando cioè si trova all'orizzonte), determinando in tal modo l'angolo 2a

si determina quindi la distanza in funzione del raggio terrestre R. Infatti per le regole della trigonometria deve essere .

Ad esempio sapendo che la parallasse media della luna è di circa 0,95°, si trova per essa una distanza pari a circa 60 raggi terrestri

Per corpi celesti che orbitano intorno al sole su orbite interne a quella terrestre è possibile determinare la massima distanza angolare (elongazione massima) del corpo rispetto al sole. Quando infatti osserviamo un pianeta interno (Mercurio, Venere) alla sua massima elongazione, la visuale è tangente all'orbita del pianeta e quindi perpendicolare alla direzione Pianeta-Sole.  In queste condizioni, per le regole della trigonometria, il rapporto tra la distanza Pianeta-Sole (D_P) e la distanza Terra-Sole (D_T) deve essere pari al seno dell'elongazione massima e_max

Così, ad esempio, sapendo che l'elongazione massima di Venere è circa 46,5°, possiamo determinare la sua distanza dal sole in Unità astronomiche come

Aristarco ed Ipparco: sulle dimensioni e distanze del Sole e della Luna

I primi ad usare metodi parallattici e trigonometrici per la determinazione di distanze cosmiche furono gli antichi Greci.

La prima stima della distanza della Luna si deve ad Aristarco di Samo (III sec. a.C.), famoso soprattutto per la sua ipotesi eliocentrica, in seguito abbandonata in favore del geocentrismo tolemaico.

Nell'unica opera pervenutaci, "Sulle dimensioni e distanze del Sole e della Luna", Aristarco afferma correttamente che quando la luna ci appare illuminata per metà (dicotomia lunare) essa deve necessariamente trovarsi al vertice dell'angolo retto di un triangolo rettangolo, ai rimanenti vertici del quale si trovano Terra e Sole. Aristarco valuta in 87° (un quadrante (90°) meno un trentesimo di quadrante (3°)) l'angolo a compreso tra le visuali che dalla Terra portano alla Luna e al Sole.

In termini trigonometrici ciò significa che l'angolo b = 3° e che il rapporto tra la distanza Terra-Luna (D_L) e la distanza Terra-Sole (D_S) è pari al seno di b

In realtà al tempo di Aristarco non erano ancora disponibili tavole trigonometriche (la trigonometria nasce con Ipparco di Nicea verso la seconda metà del II secolo a.C) ed egli dimostra che il rapporto deve essere compreso tra 1/18 e 1/20. Il risultato è assolutamente corretto dal punto di vista formale, ma il valore dell'angolo a ottenuto da Aristarco è inferiore al valore reale (89° 51' 10'') per la evidente difficoltà di misurare un angolo così prossimo ad un angolo retto. Il valore corretto dell'angolo porta ad un rapporto tra le distanza pari a circa 1/390.

Aristarco osserva poi correttamente che Sole e Luna hanno nel nostro cielo dimensioni apparenti uguali (durante un eclisse di Sole il disco lunare si sovrappone perfettamente a quello solare). Da ciò deriva che distanza e dimensione dei due astri devono essere in proporzione. In altre parole, poiché il Sole è circa 19 volte più distante della Luna, allora anche le dimensioni del Sole devono essere 19 volte superiori a quelle della  Luna.

 

Dalle osservazioni di un'eclisse lunare Aristarco trasse inoltre la conclusione che l'ampiezza dell'ombra proiettata dalla Terra nella regione dove essa è attraversata dalla Luna è due volte il diametro della Luna.

In realtà, come successivamente trovò Ipparco, l'ombra alla distanza della Luna è circa 2,5 volte più grande della Luna stessa.

Se indichiamo con R_O il raggio dell'ombra e con R_L il raggio della Luna è facile verificare come il percorso effettuato dalla Luna per entrare completamente nel cono d'ombra (A → B) è pari a 2R_L. Il tempo necessario per effettuare tale percorso è di circa un'ora. Infatti, poiché la Luna impiega circa 30 giorni (29,5 giorni) per completare una rivoluzione di 360° rispetto al sistema Terra-Sole, essa si muove di 360°/30 = 12° al giorno = 0,5° all'ora. In altre parole impiega un'ora per spostarsi di un suo diametro.

La velocità del moto di entrata sarà ovviamente pari a 2R_L/1

Il percorso effettuato dalla Luna per attraversare completamente il cono d'ombra rimanendo al suo interno (B → C) è pari a (2R_O - 2R_L). Il tempo necessario (tempo di totalità) per effettuare tale percorso è di circa un'ora e mezza.

La velocità di tale moto di entrata sarà ovviamente pari a (2R_O - 2R_L)/1,5.

Trattandosi di un tratto breve e limitato dell'orbita lunare possiamo assumere come costante la velocità di rivoluzione e scrivere pertanto

2R_L/1 = (2R_O - 2R_L)/1,5

da cui, riordinando, si ottiene

R_O = 2,5R_L

Aristarco usa questi dati per calcolare le dimensioni e la distanza della Luna, sfruttando lo schema geometrico che si viene a creare durante un'eclisse di Luna.

Dati

1) R_O = 2R_L

2)

3) dimensione angolare Sole = dimensione angolare Luna = 0,5°

dalla similitudine dei triangoli BCD e ABE si ricava la proporzione

e, sostituendo opportunamente

Ricordando che Aristarco aveva trovato D_S/D_L = 19 ed R_S = 19 R_L, la proporzione diventa

che, riordinata, fornisce

Per Aristarco dunque le dimensioni lunari sono circa un terzo (20/57 ≈ 1/3) di quelle terrestri.

Si noti come il valore trovato da Aristarco per le dimensioni della Luna è praticamente indipendente dal valore assegnato al rapporto D_S/D_L = 19. Se ipotizziamo infatti che la distanza del Sole aumenti e dunque il rapporto D_S/D_L tenda ad infinito, si trova che il rapporto R_L/R_T tende a 1/3.

Se infatti poniamo D_S/D_L = R_S/R_L =  k, la relazione diventa

se k tende ad infinito, allora k + 1 ≈ k e la relazione diventa

Poiché, come abbiamo detto, per Aristarco le dimensioni dell'ombra terrestre alla distanza della Luna sono pari a 2 volte le dimensioni della Luna e le dimensioni della Luna sono circa un terzo delle dimensioni terrestri, possiamo scrivere

R_O = 2R_L = 2 ⅓ R_T = ⅔ R_T

Per Aristarco l'ombra della Terra si rimpicciolisce di circa un terzo delle dimensioni terrestri o, se vogliamo, si rimpicciolisce di un diametro lunare.

Nella sua opera Aristarco scrisse che il Sole e la Luna presentavano il medesimo diametro apparente di 2° (1/45 di quadrante). Tuttavia Archimede scrisse che Aristarco fu il primo a determinare che il Sole e la Luna presentavano il medesimo diametro apparente di mezzo grado. Se consideriamo corretta l'informazione di Archimede, questo significa che per Aristarco erano necessari 720 diametri lunari (pari a 1440 R_L) per completare una circonferenza di 360° sulla sfera celeste avente raggio pari alla distanza Terra-Luna (D_L). Quindi l'orbita descritta dalla Luna intorno alla Terra è una circonferenza la cui lunghezza corrisponde a 720 volte il diametro della Luna. Il raggio D_L di tale circonferenza si ottiene ovviamente dividendo la sua lunghezza per 2π

Ipparco

Anche Ipparco si occupò del problema. Egli pubblicò i suoi risultati in due libri intitolati Peri megethoon kai 'apostèmátoon ('Sulle Dimensioni e Distanze'). che non ci sono pervenuti, ma del cui contenuto parla Tolomeo nell'Almagesto e Pappo di Alessandria, nel suo commentario all'Almagesto.

Nell'Almagesto Tolomeo attribuisce inoltre ad Ipparco l'invenzione di uno strumento, detto diottra, per misurare i diametri apparenti del Sole e della Luna e Pappo d'Alessandria, nel suo Commento al quinto libro dell'Almagesto, descrive la diottra come una guida scanalata lunga quattro cubiti (circa 2 metri) dove sono montate due pinnule rettangolari. La prima, fissa a un estremo della guida, reca un piccolo foro d'osservazione; la seconda, scorrevole lungo la scanalatura, è priva di fori. Puntato lo strumento, si sposta avanti e indietro la pinnula mobile finché copre esattamente il disco del Sole o della Luna. Il rapporto fra il diametro della pinnula mobile e la sua distanza dalla pinnula fissa permette di calcolare l'angolo sotteso dal corpo celeste.

Utilizzando la diottra, Ipparco trovò che le dimensioni della Luna variano durante il suo moto orbitale, mentre non fu in grado di rilevare nessuna variazione sensibile del diametro apparente del Sole. Egli trovò che alla distanza media della Luna, il Sole e la Luna aveva il medesimo diametro apparente e che il diametro della Luna sta 650 volte nell'intera circonferenza. In altre parole il diametro apparente medio è pari a 360°/650 = 0,554° = 0° 33' 14'.

Ipparco notò anche che la Luna presenta una parallasse diurna, risulta cioè spostata dalla sua posizione rispetto al Sole o alle stelle, se osservata da punti diversi della superficie terrestre.

La parallasse diurna della Luna è l'angolo π_L sotto il quale un osservatore, posto sulla superficie della Luna, osserverebbe il raggio della Terra.

Misurando l'entità di tale angolo di parallasse è dunque possibile calcolare la distanza Terra Luna (D_L) espressa in Raggi terrestri. Il raggio Terrestre può essere infatti approssimato all'arco AB posto sulla circonferenza di raggio D_L. Il rapporto R_T/D_L è dunque pari alla parallasse lunare espressa in radianti. E dunque D_L, espresso in raggi terrestri, è semplicemente il reciproco della parallasse lunare espressa in radianti.

Per il Sole Ipparco, non fu tuttavia in grado di individuare alcuna parallasse osservabile (oggi sappiamo che il suo valore è π_S = 8,8', nettamente al di sotto della risoluzione dell'occhio umano che è di circa 1'.

Probabilmente per questo motivo nel primo libro, Ipparco ipotizzò che la parallasse del Sole fosse effettivamente nulla, il che equivale a porre idealmente il Sole a distanza infinita. Come conseguenza di tale ipotesi, la diversa manifestazione di una medesima eclisse di Sole per osservatori posti in punti diversi della superficie terrestre deve essere attribuita solo alla parallasse lunare.

In altre parole, la posizione apparente della Luna nel cielo rispetto al Sole dipende dalla posizione dell'osservatore sulla superficie terrestre. Tale spostamento apparente è detto parallasse lunare e la sua entità dipende dalla distanza che separa i due punti di osservazione e, ovviamente, dalla distanza della Luna.

Ipparco utilizzò probabilmente le informazioni relative all'eclisse di Sole  del 14 marzo 190 a.C, che fu totale per gli osservatori posti nell'Ellesponto (Dardanelli, latitudine φ = 41°), mentre risultò parziale per gli abitanti di Alessandria (latitudine φ = 31°) che videro occultati solo i 4/5 del Sole.

Partendo da questi dati Ipparco concluse che la distanza della Luna doveva essere compresa tra 71 ed 83 raggi terrestri.

Non conosciamo esattamente il procedimento utilizzato da Ipparco per ottenere tale risultato, anche se diversi storici della scienza hanno tentato varie ricostruzioni.

Poiché per Ipparco il Sole occupa sulla sfera celeste 0,554°, la frazione di Sole non oscurata dalla Luna ad Alessandria corrisponde a 1/5 di 0,554° pari a 0,111° . Tale angolo è uguale all'angolo di parallasse a del bordo inferiore C della Luna osservato dai due punti A e B sulla superficie terrestre.

Dunque l'arco AB posto sulla circonferenza di raggio D_L ha una lunghezza pari a

L'arco AB posto sulla superficie terrestre, di ampiezza pari alla differenza di latitudine (Δφ = 10°) tra l'Ellesponto ed Alessandria, ha invece una lunghezza pari a

Se ora assumiamo che questi due archi siano approssimativamente uguali possiamo scrivere

da cui

Tale risultato è stato ottenuto ponendo il Sole e la Luna allo zenit tra Ellesponto ed Alessandria, perpendicolare dunque ad una latitudine, intermedia tra 41° e 31°, pari a 36° . Possiamo affinare il risultato se consideriamo che il 14 Marzo la declinazione del Sole è di circa 3° Sud.

La direzione dei raggi solari è dunque inclinata di 36 + 3 = 39° rispetto alla verticale che passa per la latitudine di 36°. In tal modo l'arco di circonferenza BD (approssimato con un segmento) avente raggio D_L forma anch'essa un angolo di 39° con l'orizzonte e la sua lunghezza può essere correlata all'arco AB (anch'esso approssimato con un segmento) che congiunge l'Ellesponto ad Alessandria dalla relazione

BD / cos 39° = AB

sostituendo nella relazione precedente otterremo

Nel secondo libro Ipparco usa un metodo diverso per la stima delle distanze, utilizzando un eclisse di Luna.

Se consideriamo il triangolo STL, avremo che la somma dei suoi angoli interni è ovviamente pari a 180°

π_S + π_L + β = 180°

dove

π_S = Parallasse diurna del Sole

π_L = Parallasse diurna della Luna

Ma anche la somma dei tre angoli a + β + γ = 180° andando a formare un angolo piatto

dove

a = dimensione angolare del Raggio solare

γ = dimensione angolare del raggio dell'ombra terrestre alla distanza della Luna

Dunque possiamo scrivere

π_S + π_L + β = a

ed in definitiva

π_S + π_L = a

I valori di a e  β erano, come sappiamo, noti ad Ipparco.

Le dimensioni angolari del Sole (uguali a quelle della Luna) erano stati stimati da Ipparco a 0,554° e dunque a

L'ombra terrestre alla distanza della Luna era stata valutata da Ipparco pari a 2,5 volte le dimensioni della Luna e dunque, essendo il raggio lunare apparente uguale a quello del Sole, γ = 0,277° x 2,5 = 0,6925°.

In definitiva

a

Se ne deduce che la somma della parallasse diurna del Sole e della Luna deve essere pari a 0,9695° e, noto uno dei due valori, l'altro resta univocamente determinato.

π_S + π_L = 0,9695°

A differenza di quanto aveva fatto nel primo libro in cui aveva assegnato al Sole una parallasse nulla (π_S = 0), nel secondo libro Ipparco assegna al Sole una distanza dalla terra di 490 Raggi terrestri, che corrisponde ad una parallasse solare pari a π_S = 0,1169° ≈ 7'

Se infatti D_S è la distanza Terra-Sole, la circonferenza avente raggio D_S ha una lunghezza 2πD_S ed il raggio terrestre R_T rappresenta una frazione di tale circonferenza pari a π_S/360

e dunque, se D_S = 490 R_T, la parallasse solare deve valere

Assegnata dunque al Sole una parallasse di 0,1169°, resta determinata la parallasse lunare

π_L = 0,9695° - π_S = 0,9695° - 0,1169° = 0.8526°

valore che ci permette di calcolare la distanza della Luna in raggi terrestri utilizzando la relazione

da cui

Possiamo notare come per Ipparco il valore della parallasse assegnata al Sole rappresenti un limite superiore, superato il quale, la paralasse solare sarebbe osservabile e misurabile. In altre parole la parallasse solare potrebbe avere qualsiasi valore compreso tra 0° e 0,1169°. Se ora facciamo tendere a zero il valore della parallasse solare osserviamo come la distanza della Luna tenda a 59 raggi terrestri.

Infatti per π_S = 0 la parallasse lunare vale

π_L = 0,9695° - π_S = 0,9695° - 0= 0,9695°

e la distanza della Luna diventa

Periodi di rivoluzione (Terza legge di Keplero)

La terza legge di Keplero afferma che il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta è direttamente proporzionali al cubo della sua distanza media (semiasse maggiore a dell'orbita ellittica) dal sole.

Ovviamente la legge vale per qualsiasi corpo celeste in orbita intorno al sole (ad esempio una cometa). Poichè tutti i corpi celesti in orbita intorno al nostro sole possiedono una massa trascurabile rispetto alla massa solare, possiamo scrivere . Se poi misuriamo il semiasse maggiore a dell'orbita in UA, il periodo P in anni terrestri e le masse in unità solari, la relazione diventa

La misura del tempo di rivoluzione (in anni) di un corpo celeste intorno al sole ci permette dunque di calcolare la sua distanza media dal sole in unità astronomiche. Ad esempio, sapendo che Giove impiega 11,86 anni terrestri a compiere una rivoluzione intorno al sole possiamo determinare la sua distanza che risulta essere pari a

Radio-Echi

E' possibile determinare la distanza di un corpo celeste inviando sulla sua superficie un fascio di onde elettromagnetiche e misurando il tempo necessario affinché queste vengano riflesse e ritornino sulla terra. Essendo c la velocità della luce e 2t il tempo di andata e ritorno la distanza sarà pari a d = ct.

In realtà, poiché la terra si muove intorno al sole durante il periodo di misurazione, la formula per il calcolo della distanza dovrà tenerne conto e sarà pertanto più complessa.

Affinché la radiazione non venga diffusa e quindi si disperda è necessario utilizzare una lunghezza d'onda più grande delle asperità presenti sulla superficie riflettente. Per i pianeti si usano lunghezze d'onda dell'ordine del metro.

Distanze fino a qualche centinaio di parsec